تناظر كامل بين تبولوجيا قسمة الكتل وشجرة الكتل والقطع

الملخص

تبولوجيا الكتل , المتولدة من كتل (blocks) رسم بياني مترابط  ، تُنتج فضاء قسمة  يُبنى بتطابق الرؤوس الغير قابلة للتميز تبولوجياً (topologically indistinguishable vertices). في هذه الورقة، نثبت كنتيجة رئيسية تناظر هاس-الكتل والقطع (Hasse-block-cut correspondence) بين مخطط هاس (Hasse diagram) لمجموعة التخصيص الجزئية (specialization poset) للفضاء  وشجرة الكتل والقطع , بشرط ألا تحتوي  على كتل الجسر الداخلية (جسورتصل بين نقطتي قطع). يُعد هذا التناظر ثابت تام (complete invariant): فرسمان بيانيان من هذا النوع لهما فضائي قسمة متشاكلين تبولوجيا (homeomorphic) إذا وفقط إذا كانت شجرتا الكتل والقطع الخاصتان بهما متشاكلتين بيانيا. كما نبين أن أي تشاكل بياني بين رسمين بيانيين يستحدث تشاكلا تبولوجيا بين فضاءات القسمة المقابلة لهما. بالإضافة إلى ذلك، نثبت أن درجة أي عقدة في الشجرة  تساوي عدد جوارات هاس (Hasse neighbors) للنقطة المقابلة لها في فضاء . ترسي هذه النتائج   كنموذج تبولوجي طبيعي لتجزئة الكتل، رابطة بذلك بين نظرية الرسم البياني (graph theory) والتبولوجيا المنتهية (finite topology).